Compreendendo o modelo de precificação de opção binomial

Determinando os preços das ações

Chegar a um acordo sobre preços precisos para qualquer ativo negociável é um desafio – é por isso que os preços das ações mudam constantemente. Na realidade, as empresas dificilmente alteram suas avaliações no dia-a-dia, mas os preços e avaliações de suas ações mudam quase a cada segundo. Essa dificuldade em chegar a um consenso sobre a precificação correta de qualquer ativo negociável leva a oportunidades de arbitragem de curta duração.

Mas muitos investimentos bem-sucedidos se resumem a uma simples questão de avaliação atual – qual é o preço atual correto para um retorno futuro esperado?

Avaliação de opções binominais

Em um mercado competitivo, para evitar oportunidades de arbitragem, ativos com estruturas de payoff idênticas devem ter o mesmo preço. A avaliação de opções tem sido uma tarefa desafiadora e as variações de preços levam a oportunidades de arbitragem. Black-Scholes continua sendo um dos modelos mais populares usados ​​para opções de preços, mas tem limitações.

O modelo de precificação de opção binomial é outro método popular usado para opções de precificação.

Exemplos

Suponha que haja uma opção de compra de uma determinada ação com um preço de mercado atual de $ 100. A opção at-the-money (ATM) tem o preço de exercício de $ 100 com prazo de validade de um ano. Existem dois corretores, Peter e Paula, que concordam que o preço das ações subirá para US $ 110 ou cairá para US $ 90 em um ano.

Eles concordam sobre os níveis de preços esperados em um determinado período de um ano, mas discordam sobre a probabilidade de um movimento para cima ou para baixo. Pedro acredita que a probabilidade de a ação subir para US $ 110 é de 60%, enquanto Paula acredita que é de 40%.

Com base nisso, quem estaria disposto a pagar mais preço pela opção de compra? Possivelmente Peter, pois ele espera uma alta probabilidade de movimento para cima.

Cálculos de opções binominais

Os dois ativos, dos quais a avaliação depende, são a opção de compra e o estoque subjacente. Há um acordo entre os participantes de que o preço da ação subjacente pode passar dos atuais $ 100 para $ 110 ou $ 90 em um ano e não há outros movimentos de preço possíveis.

Em um mundo livre de arbitragem, se você tiver que criar uma carteira composta por esses dois ativos, opção de compra e ações subjacentes, de forma que, independentemente de onde o preço subjacente vá – $ 110 ou $ 90 – o retorno líquido da carteira sempre permanecerá o mesmo . Suponha que você compre ações “d” de opções de compra subjacentes e vendidas em uma única opção para criar esse portfólio.

Se o preço chegar a $ 110, suas ações valerão $ 110 * d, e você perderá $ 10 no pagamento de curto prazo. O valor líquido do seu portfólio será (110d – 10).

Se o preço cair para $ 90, suas ações valerão $ 90 * d, e a opção expirará sem valor. O valor líquido do seu portfólio será (90d).

Se você deseja que o valor do seu portfólio permaneça o mesmo, independentemente de para onde vai o preço das ações subjacentes, então o valor do seu portfólio deve permanecer o mesmo em ambos os casos:

h(d)–m=eu(d)Onde:h=Preço subjacente potencial mais altod=Número de ações subjacentesm=Dinheiro perdido no pagamento de chamadaseu=Menor preço potencial subjacente\ begin {alinhados} & h (d) – m = l (d) \\ & \ textbf {onde:} \\ & h = \ text {Maior preço subjacente potencial} \\ & d = \ text {Número de ações subjacentes} \ \ & m = \ text {Dinheiro perdido no pagamento da chamada curta} \\ & l = \ text {Menor preço subjacente potencial} \\ \ end {alinhado}​h ( d ) – m = l ( d )Onde:h = Preço subjacente potencial mais altod = Número de ações subjacentesm = dinheiro perdido no pagamento da chamada curtal = Preço mais baixo subjacente potencial

Portanto, se você comprar meia ação, supondo que sejam possíveis compras fracionárias, você conseguirá criar uma carteira de modo que seu valor permaneça o mesmo em ambos os estados possíveis dentro do prazo determinado de um ano.

110d–10=90dd=12\ begin {alinhado} & 110d – 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {alinhado}​1 1 0 d – 1 0 = 9 0 dd =21​

Este valor de portfólio, indicado por (90d) ou (110d – 10) = 45, está um ano depois da linha. Para calcular seu valor presente, ele pode ser descontado pela taxa de retorno livre de risco (assumindo 5%).

Valor presente=90d×e(–5%×1 Ano)=45×0.9523=42.85\ begin {alinhado} \ text {Valor presente} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Year})} \\ & = 45 \ times 0,9523 \\ & = 42,85 \\ \ fim {alinhado}Valor presente​= 9 0 d × e( – 5 % × 1  ano )= 4 5 × 0 . 9 5 2 3= 4 2 . 8 5

Uma vez que atualmente a carteira é composta por ½ ação do estoque subjacente (com um preço de mercado de $ 100) e uma opção de compra, deve ser igual ao valor presente.

12×100–1×Preço de chamada=$42.85Preço de chamada=$7.14, ou seja, o preço da chamada de hoje\ begin {align} & \ frac {1} {2} \ times 100 – 1 \ times \ text {Call Price} = \ $ 42,85 \\ & \ text {Call Price} = \ $ 7,14 \ text {, ou seja, o preço da chamada de hoje} \\ \ end {alinhado}​21× 1 0 0 – 1 × Preço da chamada = $ 4 2 . 8 5Preço da chamada = $ 7 . 1 4 , ou seja, o preço de chamada de hoje

Uma vez que isso se baseia na suposição de que o valor do portfólio permanece o mesmo, independentemente da direção do preço subjacente, a probabilidade de um movimento para cima ou para baixo não desempenha nenhum papel. A carteira permanece livre de risco, independentemente dos movimentos de preço subjacentes.

Em ambos os casos (assumido para mover para cima para $ 110 e para baixo para mover para $ 90), sua carteira é neutra ao risco e obtém a taxa de retorno livre de risco.

Conseqüentemente, ambos os negociantes, Peter e Paula, estariam dispostos a pagar os mesmos $ 7,14 por essa opção de compra, apesar de suas diferentes percepções das probabilidades de movimentos de alta (60% e 40%). Suas probabilidades percebidas individualmente não importam na avaliação de opções.

Supondo, em vez disso, que as probabilidades individuais importam, as oportunidades de arbitragem podem ter se apresentado. No mundo real, essas oportunidades de arbitragem existem com pequenos diferenciais de preço e desaparecem no curto prazo.

Mas onde está a tão alardeada volatilidade em todos esses cálculos, um fator importante e sensível que afeta o preço das opções?

A volatilidade já está incluída pela natureza da definição do problema. Supondo dois (e apenas dois – daí o nome “binomial”) estados de níveis de preços ($ 110 e $ 90), a volatilidade está implícita nesta suposição e incluída automaticamente (10% de qualquer forma neste exemplo).

Black-Scholes

Mas essa abordagem é correta e coerente com os preços comumente usados ​​de Black-Scholes? Os resultados da calculadora de opções (cortesia da OIC) correspondem exatamente ao valor calculado:

Infelizmente, o mundo real não é tão simples quanto “apenas dois estados”. O estoque pode atingir vários níveis de preço antes de expirar.

É possível incluir todos esses níveis múltiplos em um modelo de precificação binomial que se restringe a apenas dois níveis? Sim, é muito possível, mas para entendê-lo é preciso um pouco de matemática simples.

Matemática simples

Para generalizar este problema e solução:

“X” é o preço de mercado atual de uma ação e “X * u” e “X * d” são os preços futuros para movimentos de alta e baixa “t” anos depois. O fator “u” será maior do que um, pois indica um movimento para cima e “d” ficará entre zero e um. Para o exemplo acima, u = 1,1 ed = 0,9.

Os pagamentos das opções de compra são “P _up ” e “P _dn ” para movimentos para cima e para baixo no momento do vencimento.

Se você construir um portfólio de ações “s” adquiridas hoje e vender uma opção de compra, depois do tempo “t”:

VUM=s×X×você–PacimaOnde:VUM=Valor do portfólio em caso de movimento ascendente\ begin {align} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u – P_ \ text {up} \\ & \ textbf {onde:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Valor do portfólio no caso de um movimento para cima} \\ \ end {alinhado}​VUM = s × X × u – Ppara cimaOnde:VUM = valor da carteira no caso de um movimento para cima

VDM=s×X×d–PbaixaOnde:VDM=Valor da carteira em caso de queda\ begin {alinhados} & \ text {VDM} = s \ vezes X \ vezes d – P_ \ text {down} \\ & \ textbf {onde:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Valor do portfólio no caso de um movimento para baixo} \\ \ end {alinhado}​VDM = s × X × d – Ppara baixoOnde:VDM = valor da carteira no caso de uma jogada

Para avaliação semelhante em qualquer caso de movimento de preço:

s×X×você–Pacima=s×X×d–Pbaixas \ vezes X \ vezes u – P_ \ texto {para cima} = s \ vezes X \ vezes d – P_ \ texto {para baixo}s × X × u – Ppara cima= s × X × d – Ppara baixo

s=Pacima–PbaixaX×(você–d)=O número de ações a serem compradas=um portfólio livre de risco\ begin {align} s & = \ frac {P_ \ text {up} – P_ \ text {down}} {X \ times (u – d)} \\ & = \ text {O número de ações para comprar} \\ & \ phantom {=} \ text {um portfólio sem risco} \\ \ end {alinhado}s​=X × ( u – d )Ppara cima– Ppara baixo​= O número de ações para comprar para= Um portfólio livre de risco

O valor futuro da carteira ao final de “t” anos será:

Em caso de movimento para cima=s×X×você–Pacima=Pacima–Pbaixavocê–d×você–Pacima\ begin {align} \ text {In Case of Up Move} & = s \ times X \ times u – P_ \ text {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} – P_ \ text {down} } {u – d} \ vezes u – P_ \ text {up} \\ \ end {alinhado}Em caso de movimento para cima​= s × X × u – Ppara cima=u – dPpara cima– Ppara baixo​× u – Ppara cima​

Em caso de movimento para baixo=s×X×d–Pbaixa=Pacima–Pbaixavocê–d×d–Pbaixa\ begin {align} \ text {In Case of Down Move} & = s \ times X \ times d – P_ \ text {down} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} – P_ \ text {down} } {u – d} \ times d – P_ \ text {baixo} \\ \ end {alinhado}Em caso de movimento para baixo​= s × X × d – Ppara baixo=u – dPpara cima– Ppara baixo​× d – Ppara baixo​

O valor atual pode ser obtido descontando-o com a taxa de retorno livre de risco:

PV=e(–rt)×[Pacima–Pbaixavocê–d×você–Pacima]Onde:PV=Valor Atualr=Taxa de retornot=Tempo, em anos\ begin {align} & \ text {PV} = e (-rt) \ times \ left [\ frac {P_ \ text {up} – P_ \ text {down}} {u – d} \ times u – P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf {onde:} \\ & \ text {PV} = \ text {Valor Atual} \\ & r = \ text {Taxa de retorno} \\ & t = \ text {Tempo, em anos} \\ \ end {alinhados}​PV = e ( – r t ) × [u – dPpara cima– Ppara baixo​× u – Ppara cima]Onde:PV = Valor Atualr = taxa de retornot = tempo, em anos

Isso deve corresponder à carteira de ações “s” ao preço X e o valor de compra “c” (a posição atual de (s * X – c) deve ser igual a este cálculo.) Resolvendo para “c” finalmente resulta como:

Nota: Se o prêmio da chamada for vendido, deve ser um acréscimo ao portfólio, não uma subtração.

c=e(–rt)você–d×[(e(–rt)–d)×Pacima+(você–e(–rt))×Pbaixa]c = \ frac {e (-rt)} {u – d} \ vezes [(e (-rt) – d) \ vezes P_ \ texto {para cima} + (u – e (-rt)) \ vezes P_ \ enviar mensagem de texto {down}]c =u – de ( – r t )× [ ( e ( – r t ) – d ) × Ppara cima+ ( u – e ( – r t ) ) × Ppara baixo]

Outra maneira de escrever a equação é reorganizá-la:

Tomando “q” como:

q=e(–rt)–dvocê–dq = \ frac {e (-rt) – d} {u – d}q =u – de ( – r t ) – d

Então a equação se torna:

c=e(–rt)×(q×Pacima+(1–q)×Pbaixa)c = e (-rt) \ vezes (q \ vezes P_ \ texto {para cima} + (1 – q) \ vezes P_ \ texto {para baixo})c = e ( – r t ) × ( q × Ppara cima+ ( 1 – q ) × Ppara baixo)

Reorganizar a equação em termos de “q” ofereceu uma nova perspectiva.

Now you can interpret “q” as the probability of the up move of the underlying (as “q” is associated with P_up and “1-q” is associated with P_dn). Overall, the equation represents the present-day option price, the discounted value of its payoff at expiry.

Este “Q” é diferente

Como essa probabilidade “q” difere da probabilidade de um movimento para cima ou para baixo do subjacente?

VSP=q×X×você+(1–q)×X×dOnde:VSP=Valor do preço das ações no momento t\ begin {alinhado} & \ text {VSP} = q \ vezes X \ vezes u + (1 – q) \ vezes X \ vezes d \\ & \ textbf {onde:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Valor do preço das ações no tempo} t \\ \ end {alinhado}​VSP = q × X × u + ( 1 – q ) × X × dOnde:VSP = Valor da Bolsa de Valores de Tempo  t

Substituindo o valor de “q” e reorganizando, o preço da ação no momento “t” chega a:

Preço da ação=e(rt)×X\ begin {alinhado} & \ text {Preço da ação} = e (rt) \ vezes X \\ \ end {alinhado}​Cotação = e ( r t ) × X

Nesse mundo presumido de dois estados, o preço das ações simplesmente aumenta pela taxa de retorno sem risco, exatamente como um ativo sem risco e, portanto, permanece independente de qualquer risco. Os investidores são indiferentes ao risco sob este modelo, então este constitui o modelo neutro ao risco.

Probabilidades “q” e “(1-q)” são conhecidas como probabilidades neutras ao risco e o método de avaliação é conhecido como modelo de avaliação neutro ao risco.

O cenário de exemplo tem um requisito importante – a estrutura de recompensa futura é exigida com precisão (nível $ 110 e $ 90). Na vida real, essa clareza sobre os níveis de preços baseados em etapas não é possível; em vez disso, o preço se move aleatoriamente e pode ser liquidado em vários níveis.

Para expandir ainda mais o exemplo, suponha que os níveis de preços em duas etapas sejam possíveis. Conhecemos os resultados finais da segunda etapa e precisamos avaliar a opção hoje (na etapa inicial):

Trabalhando para trás, a avaliação da primeira etapa intermediária (em t = 1) pode ser feita usando os payoffs finais na etapa dois (t = 2) e, em seguida, usando essa avaliação calculada da primeira etapa (t = 1), a avaliação atual (t = 0) pode ser alcançado com esses cálculos.

Para obter o preço das opções no número dois, são usados ​​os payoffs em quatro e cinco. Para obter o preço do número três, são usados ​​os pagamentos de cinco e seis. Finalmente, os payoffs calculados em dois e três são usados ​​para obter o preço do número um.

Observe que este exemplo assume o mesmo fator para movimentos para cima (e para baixo) em ambas as etapas – ued são aplicados de forma composta.

Um exemplo prático

Suponha que uma opção de venda com preço de exercício de $ 110 esteja atualmente sendo negociada a $ 100 e expirando em um ano. A taxa anual livre de risco é de 5%. O preço deve aumentar 20% e diminuir 15% a cada seis meses.

Aqui, u = 1,2 ed = 0,85, x = 100, t = 0,5

usando a fórmula derivada acima de

q=e(–rt)–dvocê–dq = \ frac {e (-rt) – d} {u – d}q =u – de ( – r t ) – d

obtemos q = 0,35802832

valor da opção de venda no ponto 2,

p2=e(–rt)×(p×Pacima, acima+(1–q)Patualização)Onde:p=Preço da opção de venda\ begin {alinhado} & p_2 = e (-rt) \ times (p \ vezes P_ \ text {upup} + (1 – q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {onde:} \\ & p = \ text {Preço da opção de venda} \\ \ end {alinhado}​p2= e ( – r t ) × ( p × Pupup+ ( 1 – q ) PUPDN)Onde:p = preço da opção de venda

Na  condição P _upup , subjacente será = 100 * 1,2 * 1,2 = $ 144 levando a P _upup  = zero

Na  condição P _updn , subjacente será = 100 * 1,2 * 0,85 = $ 102 levando a P _updn  = $ 8

Na  condição P _dndn , o subjacente será = 100 * 0,85 * 0,85 = $ 72,25 levando a P _dndn  = $ 37,75

p ₂ = 0,975309912 * (0,35802832 * 0 + (1-0,35802832) * 8) = 5,008970741

Da mesma forma, p ₃ = 0,975309912 * (0,35802832 * 8 + (1-0,35802832) * 37,75) = 26,42958924

p1=e(–rt)×(q×p2+(1–q)p3)p_1 = e (-rt) \ vezes (q \ vezes p_2 + (1 – q) p_3)p1= e ( – r t ) × ( q × p2+ ( 1 – q ) p3)

E, portanto, o valor da opção de venda, p ₁ = 0,975309912 * (0,35802832 * 5,008970741 + (1-0,35802832) * 26,42958924) = $ 18,29.

Da mesma forma, os modelos binomiais permitem quebrar toda a duração da opção para várias etapas e níveis refinados. Usando programas de computador ou planilhas, você pode retroceder um passo de cada vez para obter o valor presente da opção desejada.

Outro exemplo

Suponha uma opção de venda do tipo europeu com nove meses até o vencimento, um preço de exercício de $ 12 e um preço subjacente atual de $ 10. Suponha uma taxa livre de risco de 5% para todos os períodos. Suponha que a cada três meses, o preço subjacente pode se mover 20% para cima ou para baixo, nos dando u = 1,2, d = 0,8, t = 0,25 e uma árvore binomial de três etapas.

O vermelho indica os preços subjacentes, enquanto o azul indica o retorno das opções de venda. 

A probabilidade neutra ao risco “q” é calculada em 0,531446.

Usando o valor de “q” acima e os valores de payoff em t = nove meses, os valores correspondentes em t = seis meses são calculados como:

Além disso, usando esses valores calculados em t = 6, os valores em t = 3, então em t = 0 são:

Isso dá o valor atual de uma opção de venda como $ 2,18, muito próximo do que você encontraria fazendo os cálculos usando o modelo Black-Scholes ($ 2,30).

The Bottom Line

Embora o uso de programas de computador possa facilitar esses cálculos intensivos, a previsão de preços futuros continua sendo uma das principais limitações dos modelos binomiais de precificação de opções. Quanto mais precisos os intervalos de tempo, mais difícil será prever os ganhos no final de cada período com precisão de alto nível.

No entanto, a flexibilidade para incorporar as mudanças esperadas em diferentes períodos é um ponto positivo, o que o torna adequado para precificar opções americanas, incluindo avaliações de exercício antecipado.

Os valores calculados usando o modelo binomial correspondem aproximadamente aos calculados a partir de outros modelos comumente usados, como Black-Scholes, o que indica a utilidade e a precisão dos modelos binomiais para precificação de opções. Os modelos de precificação binomial podem ser desenvolvidos de acordo com as preferências do trader e podem funcionar como uma alternativa ao Black-Scholes.