Economia

Compreendendo o valor do dinheiro no tempo

Publicado por Javier Ricardo

Parabéns!!! Você ganhou um prêmio em dinheiro! Você tem duas opções de pagamento:

R: Receba $ 10.000 agora

B: Receba $ 10.000 em três anos. Qual opção você escolheria?

A resposta depende de sua compreensão do valor do dinheiro no tempo (TMV).

Qual é o valor do dinheiro no tempo?

Se você for como a maioria das pessoas, você escolheria receber os $ 10.000 agora. Afinal, três anos é muito tempo para esperar. Por que qualquer pessoa racional adiaria o pagamento no futuro, quando poderia ter a mesma quantidade de dinheiro agora? Para a maioria de nós, aceitar o dinheiro no presente é simplesmente instintivo. Portanto, no nível mais básico, o valor do dinheiro no tempo demonstra que todas as coisas sendo iguais, parece melhor ter dinheiro agora do que mais tarde.

Mas por que isso? Uma nota de $ 100 tem o mesmo valor que uma nota de $ 100 daqui a um ano, não tem? Na verdade, embora a conta seja a mesma, você pode fazer muito mais com o dinheiro se o tiver agora, porque com o tempo você pode ganhar mais juros sobre o seu dinheiro.

De volta ao nosso exemplo: ao receber $ 10.000 hoje, você está pronto para aumentar o valor futuro de seu dinheiro investindo e ganhando juros ao longo de um período de tempo. Para a Opção B, você não tem tempo a seu lado, e o pagamento recebido em três anos seria seu valor futuro. Para ilustrar, fornecemos um cronograma:

Se você estiver escolhendo a Opção A, seu valor futuro será de $ 10.000 mais qualquer participação adquirida ao longo dos três anos. O valor futuro da Opção B, por outro lado, seria de apenas $ 10.000. Então, como você pode calcular exatamente quanto mais vale a opção A, em comparação com a opção B? Vamos dar uma olhada.

Future Value Basics

Se você escolher a Opção A e investir o valor total a uma taxa anual simples de 4,5%, o valor futuro do seu investimento no final do primeiro ano será de $ 10.450. Chegamos a essa soma multiplicando o valor do principal de $ 10.000 pela taxa de juros de 4,5% e, em seguida, adicionando os juros ganhos ao valor do principal:

$$10,000×0.045=$450\ begin {alinhados} & \ $ 10.000 \ times 0,045 = \ $ 450 \\ \ end {alinhados}$

$$450+$10,000=$10,450\ begin {alinhados} & \ $ 450 + \ $ 10.000 = \ $ 10.450 \\ \ end {alinhados}$

Você também pode calcular o valor total de um investimento de um ano com uma simples manipulação da equação acima:

$original\ begin {alinhados} & \ text {OE} = (\ $ 10.000 \ vezes 0,045) + \ $ 10.000 = \ $ 10.450 \\ & \ textbf {onde:} \\ & \ text {OE} = \ text {Equação original} \ \ \ end {alinhado}$

$Manipulação=$10,000×[(1×0.045)+1]=$10,450\ begin {align} & \ text {Manipulation} = \ $ 10.000 \ times [(1 \ vezes 0,045) + 1] = \ $ 10.450 \\ \ end {alinhados}$

$Final=$10,000×(0.045+1)=$10,450\ begin {alinhados} & \ text {Equação final} = \ $ 10.000 \ vezes (0,045 + 1) = \ $ 10.450 \\ \ end {alinhados}$

A equação manipulada acima é simplesmente uma remoção da variável semelhante $ 10.000 (o valor principal) dividindo toda a equação original por $ 10.000.

Se os $ 10.450 restantes em sua conta de investimento no final do primeiro ano permanecessem intocados e você investisse 4,5% por outro ano, quanto você teria? Para calcular isso, você pegaria $ 10.450 e multiplicaria novamente por 1,045 (0,045 +1). Ao final de dois anos, você teria $ 10.920,25.

Calculando o valor futuro

O cálculo acima, então, é equivalente à seguinte equação:

$futuro=$10,000×(1+0.045)×(1+0.045)\ begin {alinhados} & \ text {Valor futuro} = \ $ 10.000 \ vezes (1 + 0,045) \ vezes (1 + 0,045) \\ \ end {alinhados}$

Pense novamente na aula de matemática e na regra dos expoentes, que afirma que a multiplicação de termos semelhantes é equivalente a adicionar seus expoentes. Na equação acima, os dois termos semelhantes são (1+ 0,045) e o expoente de cada um é igual a 1. Portanto, a equação pode ser representada da seguinte forma:

$futuro=$10,000×(1+0.045)2\ begin {alinhados} & \ text {Valor futuro} = \ $ 10.000 \ vezes (1 + 0,045) ^ 2 \\ \ end {alinhados}$

Podemos ver que o expoente é igual ao número de anos durante os quais o dinheiro está rendendo juros em um investimento. Portanto, a equação para calcular o valor futuro de três anos do investimento seria assim:

$futuro=$10,000×(1+0.045)3\ begin {alinhados} & \ text {Valor futuro} = \ $ 10.000 \ vezes (1 + 0,045) ^ 3 \\ \ end {alinhados}$

No entanto, não precisamos continuar calculando o valor futuro depois do primeiro ano, depois do segundo ano, do terceiro ano e assim por diante. Você pode descobrir tudo de uma vez, por assim dizer. Se você souber a quantidade presente de dinheiro que tem em um investimento, sua taxa de retorno e por quantos anos gostaria de manter esse investimento, você pode calcular o valor futuro (FV) desse montante. É feito com a equação:

$períodos\ begin {alinhado} & \ text {FV} = \ text {PV} \ times (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {onde:} \\ & \ text {FV} = \ text {Valor futuro} \\ & \ text {PV} = \ text {Valor atual (quantia original de dinheiro)} \\ & i = \ text {Taxa de juros por período} \\ & n = \ text {Número de períodos} \\ \ end {alinhado }$

Princípios do valor presente

Se você recebeu $ 10.000 hoje, seu valor presente seria, obviamente, de $ 10.000, porque o valor presente é o que seu investimento lhe dá agora se você o gastasse hoje. Se você recebesse $ 10.000 em um ano, o valor presente do montante não seria $ 10.000 porque você não o tem em mãos agora, no presente.

Para descobrir o valor presente dos $ 10.000 que receberá no futuro, você precisa fingir que os $ 10.000 são o valor futuro total de uma quantia que você investiu hoje. Em outras palavras, para encontrar o valor presente dos $ 10.000 futuros, precisamos descobrir quanto teríamos que investir hoje para receber esses $ 10.000 em um ano.

Para calcular o valor presente, ou a quantia que teríamos que investir hoje, você deve subtrair os juros acumulados (hipotéticos) de $ 10.000. Para isso, podemos descontar o valor do pagamento futuro ($ 10.000) pela taxa de juros do período. Em essência, tudo o que você está fazendo é reorganizando a equação de valor futuro acima para que possa resolver para o valor presente (VP). A equação de valor futuro acima pode ser reescrita da seguinte forma:

$PV=FV(1+eu)n\ begin {alinhado} & \ text {PV} = \ frac {\ text {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ end {alinhado}$

Uma equação alternativa seria:

$períodos\ begin {align} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {onde:} \\ & \ text {PV} = \ text { Valor presente (quantia original de dinheiro)} \\ & \ text {FV} = \ text {Valor futuro} \\ & i = \ text {Taxa de juros por período} \\ & n = \ text {Número de períodos} \\ \ fim {alinhado}$

Calculando o valor presente

Vamos retroceder a partir dos $ 10.000 oferecidos na Opção B. Lembre-se de que os $ 10.000 a serem recebidos em três anos são realmente iguais ao valor futuro de um investimento. Se faltasse um ano para receber o dinheiro, descontaríamos o pagamento em um ano. Usando nossa fórmula de valor presente (versão 2), no marco atual de dois anos, o valor presente dos $ 10.000 a serem recebidos em um ano seria $ 10.000 x (1 + 0,045) ^-1 = $ 9569,38.

Observe que se hoje estivéssemos na marca de um ano, os $ 9.569,38 acima seriam considerados o valor futuro de nosso investimento daqui a um ano.

Continuando, ao final do primeiro ano, esperaríamos receber o pagamento de $ 10.000 em dois anos. A uma taxa de juros de 4,5%, o cálculo do valor presente de um pagamento de $ 10.000 esperado em dois anos seria $ 10.000 x (1 + 0,045) ^-2 = $ 9157,30.

Obviamente, por causa da regra dos expoentes, não precisamos calcular o valor futuro do investimento a cada ano, contando a partir do investimento de $ 10.000 no terceiro ano. Poderíamos colocar a equação de forma mais concisa e usar os $ 10.000 como FV. Então, aqui está como você pode calcular o valor presente de hoje dos $ 10.000 esperados de um investimento de três anos ganhando 4,5%:

$$8,762.97=$10,000×(1+.045)–3\ begin {alinhados} & \ $ 8.762,97 = \ $ 10.000 \ vezes (1 + .045) ^ {- 3} \\ \ end {alinhados}$

Portanto, o valor presente de um pagamento futuro de $ 10.000 vale $ 8.762,97 hoje, se as taxas de juros forem de 4,5% ao ano. Em outras palavras, escolher a opção B é como pegar $ 8.762,97 agora e então investi-los por três anos. As equações acima ilustram que a Opção A é melhor não apenas porque oferece dinheiro agora, mas porque oferece $ 1.237,03 ($ 10.000 – $ 8.762,97) a mais em dinheiro! Além disso, se você investir os $ 10.000 que recebe da Opção A, sua escolha lhe dará um valor futuro de $ 1.411,66 ($ 11.411,66 – $ 10.000) maior do que o valor futuro da Opção B.

Valor presente de um pagamento futuro

Vamos aumentar a nossa oferta. E se o pagamento futuro for maior do que o valor que você receberá imediatamente? Digamos que você possa receber $ 15.000 hoje ou $ 18.000 em quatro anos. A decisão agora é mais difícil. Se você optar por receber $ 15.000 hoje e investir todo o valor, pode acabar com uma quantia em dinheiro em quatro anos inferior a $ 18.000.

Como decidir? Você poderia encontrar o valor futuro de $ 15.000, mas como estamos sempre vivendo no presente, vamos encontrar o valor presente de $ 18.000. Desta vez, assumiremos que as taxas de juros estão atualmente em 4%. Lembre-se de que a equação do valor presente é a seguinte:

$PV=FV×(1+eu)–n\begin{aligned} &\text{PV} = \text{FV} \times ( 1 + i )^{-n} \\ \end{aligned}$

Na equação acima, tudo o que estamos fazendo é descontar o valor futuro de um investimento. Usando os números acima, o valor presente de um pagamento de $ 18.000 em quatro anos seria calculado como $ 18.000 x (1 + 0,04) ^-4 = $ 15.386,48.

A partir do cálculo acima, sabemos que nossa escolha hoje é entre US $ 15.000 ou US $ 15.386,48. Claro, devemos optar por adiar o pagamento por quatro anos!

The Bottom Line

Esses cálculos demonstram que tempo literalmente é dinheiro – o valor do dinheiro que você tem agora não é o mesmo que será no futuro e vice-versa. Portanto, é importante saber calcular o valor do dinheiro no tempo para que você possa distinguir entre o valor dos investimentos que oferecem retorno em momentos diferentes. (Para leituras relacionadas, consulte “Valor do dinheiro no tempo e o dólar”)

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